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2019年中国科学技术大学数学分析考研真题及解答
2019年中国科学技术大学数学分析考研真题及解答
一、求极限
二、 求极限
三、设, , 数列满足递归关系
证明:收敛并求其极限。
四、求下面定积分
五、求半径的球的外切正圆锥体积最小时的高,并求处最小体积。
六、设, 求.
七、设证明:
八、 求.
九、求曲面上任意一点的切平面与抛物面所围成立体的体积。
解答如下:
一、求极限
解: 幂指数列(典型)
注意泰勒公式
因此
【解题完毕】
二、 求极限
解: 幂指函数(典型)
【解题完毕】
三、设, , 数列满足递归关系
证明:收敛并求其极限。
证明:
注意. 假设, 根据递归关系,
另一方面,根据得到
所以. 因此是有界数列。
再证明单调增加。
且
因为, , 立即得到单调增加。
根据单调有界数列必有极限定理,存在。对递归公式取得到
因此 该数列极限为.【证明完毕】
四、求下面定积分
解:
第二个换元得到
【解题完毕】
五、求半径的球的外切正圆锥体积最小时的高,并求处最小体积。
解: 可以画出截面图如下:
设圆锥高,地面半径根据图知道
所以
故体积表达式
当且仅当时等号成立,即
【解题完毕】
六、设, 求.
解: 变形
故
得到 【解题完毕】
七、设证明:
证明:
时, .
作辅助函数
容易计算
所以
则
【证明完毕】
八、 求.
解:
解之得
所以
故
【解题完毕】推广:级数通项分子n的平方改立方会求吗?
九、求曲面上任意一点的切平面与抛物面所围成立体的体积。
解: 假设为曲面上任意一点,则切平面的法向量
切平面的方程
化为
这个平面与相交即
注意
从而得到
这说明切平面与抛物面交线,切平面与圆柱面相同。使用柱面坐标
将其代入切平面、抛物面方程得到
参数范围
故三重积分
【解题完毕】
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